题目

如图，已知椭圆E： （ ）的右焦点为 ，离心率 ，过F作一直线 交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线 ： 的垂线，垂足为C． （1） 求椭圆E的方程； （2） 问：在x轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由题意可知 c=1 ， ca=12 ，解得 a=2 ， c=1 ， 所以 b2=a2−c2=3 ，所以椭圆E的方程为 x24+y23=1 解：假设存在点 T(t，0) ，使得B，T，C三点共线. 当 AB 斜率不存在时，连结 BC 交x轴于点T， 因为 AC//FT ， AF=FB ，所以 BT=CT ，所以 FT=12AC=32 ， 又因为 OF=1 ，所以 t=52 ，即 T(52，0) . 下面再证明当 AB 斜率存在时，B，T，C三点共线. 证明：设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，则 C(4，y1) ， 将 AB ： x=my+1 与 x24+y23=1 ，得 (3m2+4)y2+6my−9=0 ， 从而 {Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0y1+y2=−6m3m2+4y1y2=−93m2+4 要证B，T，C三点共线，即证 kBT=kCT . kBT−kCT=y2x2−52−2y13=3y2−2y1(x2−52)3(x2−52)=3y2−2y1(my2+1−52)3(x2−52)= =3(y1+y2)−2my1y23(x2−52)=3(−6m3m2+4)−2m−93m2+43(x2−52)=0 ，得证. 所以在x轴上存在一个定点 T(52，0) ，使得B，T，C三点共线

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