题目

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移． （1） 写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． （2） 当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 时，求证：四边形 是菱形． （3） 设平移的距离为 ，两张纸条重叠部分的面积为 ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值． 答案： 解：在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形； 证明：分别过点B、D作 BE⊥CD 于点E、 DF⊥CB 于点F， ∴ ∠BEC=∠DFC=90° ∵两张纸条等宽， ∴ BE=DF=6 ． 在 △BCE 和 △DCF 中 ∠BCE=∠DCF=45° ， ∴ BC=DC=62+62=62 ， ∵两张纸条都是矩形， ∴ AB//CB   BC//AD ． ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵ BC=DC ， ∴四边形 ABCD 是菱形； 解：Ⅰ、如图：当 0<x≤6 时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴ S=12x2 ， ∴ 0<S⩽18 ．最大值为 18cm2 ． Ⅱ、如图：当 6<x⩽62 时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为 xcm ，上底为 (x−6)cm ， ∴ S=12(x+x−6)⋅6=6x−18 ，当 x=62 时，s取最大值 (362−18)cm2 ． Ⅲ、当 62<x<6+62 时，重叠部分为五边形， S五边形=S菱形−S三角形=62×6−12(6+62−x)2=−12[x−(6+62)]2+362 ． 此时 362−18<S五边形<362 ． Ⅳ、当 x=6+62 时，重叠部分为菱形， ∴ S菱形=362cm2 ． ∴ s={12x2(0<x⩽6)6x−18(6<x⩽62)−12[x−(6+62)]2+362(62<x<6+62)362(x=6−62) ∴s的最大值为 362cm2 ．

查看本题答案和解析