题目

如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ． （1） 证明： 平面 ； （2） 若 ， ，求二面角 的余弦值． 答案： 由已知得， B1C1⊥ 平面 ABB1A1 ， BE⊂ 平面 ABB1A1 ，故 B1C1⊥BE 又 BE⊥EC1 ，所以 BE⊥ 平面 EB1C1 由（1）知 ∠BEB1=90° ．由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E ，所以 ∠AEB=45° ， 故 AE=AB ， AA1=2AB 以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz ，则 C(0，1，0) ， B(1，1，0) ， C1(0，1，2) ， E(1，0，1) ， CB→=(1，0，0) ， CE→=(1，−1，1) ， CC1→=(0，0，2) 设平面 EBC 的法向量为 n→=(x1，y1，z1) ， 则 {CB→⋅n→=0CE→⋅n→=0 即 {x1=0，x1−y1+z1=0， 所以可取 n→=(0，−1，−1) 设平面 ECC1 的法向量为 m→=(x2，y2，z2) ， 则 {CC1→⋅m→=0CE→⋅m→=0 ，即 {z2=0，x2−y2+z2=0， 可取 m→=(1，1，0) 于是 cos〈n→，m→〉=n→⋅m→|n→|⋅|m→|=−12 所以，二面角 B−EC−C1 的余弦值为 −12 ．

查看本题答案和解析