题目

如图，点 分别在矩形 的边 上， ， .点G为 上一点，连结 交 于 .点P从点H匀速运动到终点E，点Q在线段 上.记 ，满足 （k为常数， ）. （1） 求证：四边形 是平行四边形. （2） 求 的长. （3） 在点P的运动过程中，当Q为 的中点时，点 在同一条直线上. ①求k的值. ②过点Q作 于点R，连结 ，当 为直角三角形时，求所有满足条件的 的长. 答案： 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD//BC，AD=BC . ∵BE=DF ， ∴AF=CE . ∴四边形 AECF 是平行四边形 解： ∵BE=DF=4,AF=2 ， ∴BC=AD=6 在 Rt△CDF 中， CF=CD2+DF2=(43)2+42=8 . 设 FG=a ，则 HE=2a，CG=CF−FG=8−a . ∵四边形 AECF 是平行四边形， ∴AE//CF ， ∴△BEH∽△BCG ， ∴HECG=BEBC ，即 2a8−a=46 . 解得 a=2 ， ∴HE=2a=4 解：①根据（2）可知 CF=2DF ， FG=2，CG=BC=6 ∴∠DCF=30° . ∴∠BCF=∠BEH=60° . ∴△BCG 是等边三角形. ∴△BEH 也为等边三角形. ∴BE=HE=4 . ∵Q 为 CG 的中点时，点 B，P，Q 在同一条直线上， ∴P 为 HE 的中点， y=CQ=12CG=3 . ∴x=PH=12HE=12BE=2 ， 将x=2，y=3，代入 y=kx+72 中，得 2k+72=3 ， 解得： k=−14 . ②分类讨论（i）如图，当 ∠PQR=90° 时. ∵QR⊥EC， ∴PQ//EC . ∴四边形 PECQ 为平行四边形， ∴PE=CQ ， ∵HE=4 ， ∴PE=HE−PH=4−x . 由（3）①可知 CQ=y=−14x+72 ∴4−x=−14x+72 ， ∴PH=x=23 . （ii）如图，当 ∠QPR=90° 时，取 QR 的中点O，连接PO，作 PM⊥QR 于点M，作 PN⊥BC 于点N. ∵CQ=−14x+72 ， ∴OP=OR=12QR=12CQ⋅sin60°=34(−14x+72) ， ∴MR=PN=PE⋅sin60°=32(4−x) ， ∴OM=OR−MR=34(74x−92) ， ∴PM=RN=EN+ER=EN+EC−CR ，即 PM=PE·cos60°+2−CQ·cos60°=12(4−x)+2−12(−14x+72)=38x+94 在 Rt△POM 中 OM2+PM2=OP2 ，即 316(74x−92)2+(−38x+94)2=316(−14x+72)2 ， 解得 x1=103, x2=145 . 即 PH=103 或 145 . （iii）如图，当 ∠PRQ=90° 时. 此时点P恰好与点E重合， PH=HE=4 . 综上所述，当 PH 的长为 23，103，145，4 时， △PQR 是直角三角形.

查看本题答案和解析