题目

如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点P（2，3），离心率e= ，直线1的方程为y=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ． 问：是否存在常数λ，使得 十 = ？若存在，求λ的值． 答案：解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点P（2，3），∴ 4a2 + 9b2 =1，又∵e= ca = 12 ，a2=b2+c2，∴a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为： x216+y212=1 ；（Ⅱ）结论：存在常数λ=2，使得 1k1 十 1k2 = 2k3 ．理由如下：①当AB斜率存在时，不妨设为y=kx+3，联立直线AB与椭圆方程，消去y整理得：（3+4k2）x2+24kx﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣ 24k3+4k2 ，x1x2= −123+4k2 ，∴ 1k1 十 1k2 = x1−2y1−3 + x2−2y2−3= x1−2kx1 + x2−2kx2= 1k [（1﹣ 1x1 ）+（1﹣ 2x2 ）]= 2k （1﹣ x1+x2x1x2 ）= 2k （1﹣ −24k−12{y=22x+mx22+y2=1 ）= 2k ﹣4，令y=4，则kx+3=4，从而M（ 1k ，4），则 λk3 =λ• 2−1k3−4 = λk ﹣2λ，∵ 1k1 十 1k2 = λk3 ，∴对比可知λ=2；②当AB斜率不存在时，不妨设A（0，2 3 ），B（0，﹣2 3 ），M（0，4），则 1k1 十 1k2 = 2−03−23 + 2−03+23 =﹣4，1k3 =﹣2，当λ=2时也成立；综上所述，存在常数λ=2，使得 1k1 十 1k2 = 2k3

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