题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F.连接DE，AE，且AE平分∠BAC. （1） 求证：BC是⊙O的切线； （2） 求证：BE2=BD·AB； （3） 点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长. 答案： 证明：如图，连接OE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC. ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线 证明：由（1）可知，BC与⊙O相切于点E，∴∠OED＋∠BED＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO＋∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED. ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE， ∴BDBE＝BEAB，即BE2＝BD·AB； 解：如解图，过点E作EM⊥AB于点M，连接OH， 在Rt△ABC中，AB＝AC2+BC2＝62+82＝10. ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB－AM＝4. 设CE＝x，则EM＝EC＝x， ∴BE＝8－x， 在Rt△BEM中，EM2＋BM2＝BE2， ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5. Rt△ACE中，AE＝AC2+CE2＝35， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴DEAE＝BEAB＝12， ∴DE＝352， 在Rt△AED中，AD＝(352)2+(35)2＝152， ∴DM＝DE2−EM2＝32，即OM＝OD－DM＝94. ∵H是AD⌢的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴EMOH＝MGOG＝45， 设MG＝a，则OG＝OM－MG＝94－a， ∴a94−a=45， ∴a＝1，即MG＝1，OG＝54， ∴在Rt△OHG中，GH＝OG2+OH2＝5104.

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