题目

设n是不小于3的正整数，集合 ，对于集合 中任意两个元素 ， . 定义1： . 定义2：若 ，则称 ， 互为相反元素，记作 ，或 . （Ⅰ）若 ， ， ，试写出 ， ，以及 的值； （Ⅱ）若 ，证明： ； （Ⅲ）设 是小于 的正奇数，至少含有两个元素的集合 ，且对于集合 中任意两个不相同的元素 ， ，都有 ，试求集合 中元素个数的所有可能值. 答案：解：（Ⅰ） A¯=(1,0,1) ， B¯=(0,0,1) ， A⋅B=2 （Ⅱ）设 A=(a1,a2,⋯,an) ， B=(b1,b2,⋯,bn) ， A¯=(x1,x2,⋯,xn) ， 由 ai,bi,xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n ，可得 |ai−xi|≤1 ， i=1,2,⋯,n 所以 |a1−x1|+|a2−x2|+⋯+|an−xn|≤n ， 当且仅当 |ai−xi|=1 ， i=1,2,⋯,n ，即 xi=1−ai ， i=1,2,⋯,n 时上式“=”成立 由题意可知 A⋅A¯=n−(|a1−x1|+|a2−x2|+⋯+|an−xn|)=0 即 |a1−x1|+|a2−x2|+⋯+|an−xn|=n 所以 xi=1−ai ， i=1,2,⋯,n A⋅B+A¯⋅B= 2n−∑i=1n[|ai−bi|+|(1−ai)−bi|] =2n−∑i=1n(|1−bi|+|0−bi|) =2n−∑i=1n(1−bi+bi) =2n−n =n （Ⅲ）解法1：假设 A=(a1,a2,⋯,an) ， B=(b1,b2,⋯,bn) ， C=(c1,c2,⋯,cn) 为集合 M 中的三个不相同的元素. 则 A⋅B=n−(|a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|an−bn|)=n−k 即 |a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|an−bn|=k 又由题意可知 |ai−bi|=0 或1， i=1,2,⋯,n |a1−b1|,|a2−b2|,⋯,|an−bn| 恰有 k 个1，与 n−k 个0 设其中 k 个等于1的项依次为 |am1−bm1|,|am2−bm2|,⋯,|amk−bmk| n−k 个等于0的项依次为 |amk+1−bmk+1|,|amk+2−bmk+2|,⋯,|amn−bmn| 由题意可知 A⋅C=n−(|a1−c1|+|a2−c2|+⋯+|an−cn|)=n−k 所以 ∑i=1k|ami−cmi|+∑j=k+1n|amj−cmj|=k ，同理 ∑i=1k|bmi−cmi|+∑j=k+1n|bmj−cmj|=k 所以 (∑i=1k|ami−cmi|+∑j=k+1n|amj−cmj|)+(∑i=1k|bmi−cmi|+∑j=k+1n|bmj−cmj|)=2k 即 ∑i=1k(|ami−cmi|+|bmi−cmi|)+∑j=k+1n|amj−cmj|+∑j=k+1n|bmj−cmj|=2k 因为 |am1−bm1|=|am2−bm2|=⋯=|amk−bmk|=1 由（2）可知 ∑i=1k(|ami−cmi|+|bmi−cmi|)=k 因为 |amk+1−bmk+1|=|amk+2−bmk+2|=⋯=|amn−bmn|=0 所以 ∑j=k+1n|amj−cmj|=∑j=k+1n|bmj−cmj| ， 设 ∑j=k+1n|amj−cmj|=∑j=k+1n|bmj−cmj|=p ，由题意可知 p∈N 所以 k+2p=2k ，得 k=2p 与 k 为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合 M 中至多有两个元素 当 M={(1,1,⋯,1︸k个,0,0,⋯,0︸n−k个),(0,0,⋯,0} 时符合题意 所以集合 M 中元素的个数只可能是2 解法2：假设 A=(a1,a2,⋯,an) ， B=(b1,b2,⋯,bn) ， C=(c1,c2,⋯,cn) 为集合M中的三个不相同的元素. 则 A⋅B=n−(|a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|an−bn|)=n−k 即 |a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|an−bn|=k 又由题意可知 |ai−bi|=0 或1， i=1,2,⋯,n |a1−b1|,|a2−b2|,⋯,|an−bn| 恰有 k 个1，与 n−k 个0 设其中k个等于1的项依次为 |am1−bm1|,|am2−bm2|,⋯,|amk−bmk| n−k 个等于0的项依次为 |amk+1−bmk+1|,|amk+2−bmk+2|,⋯,|amn−bmn| 由题意可知 A⋅C=n−(|a1−c1|+|a2−c2|+⋯+|an−cn|)=n−k 所以 ∑i=1k|ami−cmi|+∑j=k+1n|amj−cmj|=k ① 同理 ∑i=1k|bmi−cmi|+∑j=k+1n|bmj−cmj|=k ② ①—②得 ∑i=1k(|ami−cmi|−|bmi−cmi|)=0 又因为 ∑i=1k(|ami−cmi|−|bmi−cmi|)= ∑i=1k(|1−cmi|−|0−cmi|) =k−2∑i=1kcmi 为奇数 与 ∑i=1k(|ami−cmi|−|bmi−cmi|)=0 矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当 M={(1,1,⋯,1︸k个,0,0,⋯,0︸n−k个),(0,0,⋯,0} 时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2

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