题目

数学归纳法证明： ． 答案：解：（ⅰ）当 n=1 时，左边= 112=1 ，右边= 4×12×1+1=43 ，左边 < 右边，即不等式成立；（ⅱ）假设 n=k(k∈N*) 时，不等式成立，即 1+122+132+142+⋅⋅⋅+1k2<4k2k+1 ，则当 n=k+1 时， 1+122+132+142+⋅⋅⋅+1k2+1(k+1)2<4k2k+1+1(k+1)2 ，问题可通过证明 4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1 来实现.要证 4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1=4k+42k+3 ，只需证 1(k+1)2<4k+42k+3−4k2k+1 ，只需证 1(k+1)2<4(2k+3)(2k+1)只需证 (2k+1)(2k+3)<4(k+1)2 ，只需证 4k2+8k+3<4k2+8k+4 ，只需证 3<4 ，∵ 3<4 显然成立，∴ 4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1 ，即当 n=k+1 是不等式也成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的 n∈N∗ ，不等式恒成立

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