题目

淮北市某日气温 （℃）是时间 （ ，单位：小时）的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （℃） 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数 的图象. （1） 根据以上数据，试求 （ ， ， ）的表达式； （2） 大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素） 答案： 根据以上数据知， {A+b=26−A+b=14 ，解得 b=20 ， A=6 ；由 T2=15−3=12 ，解得 T=24 ，所以 ω=2πT=π12 ；由 x=3 时 y=14 ，即 6cos(3π12+φ)+20=14 ， 解得 cos(π4+φ)=−1 ，即 π4+φ=π+2kπ ， k∈Z ； 所以 φ=3π4+2kπ ， k∈Z ；由 0<φ<π ，解得 φ=3π4 ； 所以 y=6cos(π12t+3π4)+20 ， t∈[0,24] ； 令 y=6cos(π12t+3π4)+20≥23 ，得 cos(π12t+3π4)≥12 ， 即 −π3+2kπ≤π12t+3π4≤π3+2kπ ， k∈Z ；解得 −13+24k≤t≤−5+24k ， k∈Z ； 当 k=1 时， 11≤t≤24 ，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在 t∈[11,19] 时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过19-11=8（小时）.

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