题目

如图，已知抛物线的方程C1： （m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1） 若抛物线C1过点M（2， 2），求实数m的值； （2） 在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （3） 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：将M（2，2）代入 y=−1m(x+2)(x−m) ，得 2=−1m×4(2−m) ．解得m＝4； 解：如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小，设对称轴与x轴的交点为P，那么 HPCP=EOCO ．因此 HP3=24 ．解得 HP=32 ．所以点H的坐标为（1， 32 ）； 解：①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当 CECB=BCBF ，即 BC2=CE⋅BF 时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为 (x，−1m(x+2)(x−m)) ，由 FF'BF'=EOCO ，得 1m(x+2)(x−m)x+2=2m ．解得x＝m＋2．所以F′（m＋2， 0）．由 COCE=BF'BF ，得 mm2+4=m+4BF ．所以 BF=(m+4)m2+4m ．由 BC2=CE⋅BF ，得 (m+2)2=m2+4×(m+4)m2+4m ．整理，得0＝16．此方程无解．②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以 BEBC=BCBF ，即 BC2=BE⋅BF 时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得 1m(x+2)(x−m)=x+2 ．解得x＝2m．所以F′ (2m，0) ．所以BF′＝2m＋2， BF=2(2m+2) ．由 BC2=BE⋅BF ，得 (m+2)2=22×2(2m+2) ．解得 m=2±22 ．综合①、②，符合题意的m= 2+22 ．

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