题目

如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 　 答案：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； （2）①∵OA=8，OC=6， ∴AC==10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===， ∴=， ∴QE=（10﹣m）， ∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m； ②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+， ∴当m=5时，S取最大值； 在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=， D的坐标为（3，8），Q（3，4）， 当∠FDQ=90°时，F1（，8）， 当∠FQD=90°时，则F2（，4）， 当∠DFQ=90°时，设F（，n）， 则FD2+FQ2=DQ2， 即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16， 解得：n=6±， ∴F3（，6+），F4（，6﹣）， 满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

查看本题答案和解析