题目

若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，且当 时， 取得最小值． （1） 求 的解析式及其单调递减区间； （2） 若 ，求 的值域． 答案： 解：由题意，函数 f(x) 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 π4 ， 可得 f(x) 的周期 T=π ，即 2πω=π ，解得 ω=2 ， 又因为当 x=2π3 时， f(x) 取得最小值，所以 f(2π3)=cos(4π3+φ)=−1 ， 所以 4π3+φ=2kπ+π(k∈Z) ，解得 φ=2kπ−π3(k∈Z) ， 因为 |φ|<π2 ，所以 φ=−π3 ，所以 f(x)=cos(2x−π3) ． 令 2x−π3∈(2kπ，2kπ+π)，k∈Z ，得 x∈(kπ+π6，kπ+2π3)，k∈Z ， 故 f(x) 的单调递减区间为 (kπ+π6，kπ+2π3)，k∈Z ； 解：因为 x∈[π4，5π6] ，可得 π6≤2x−π3≤4π3 ， 所以当 2x−π3=π 时， f(x) 取得最小值 −1 ，当 2x−π3=π6 时， f(x) 取得最大值 32 ， 所以函数 f(x) 的值域是 [−1，32] ．

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