题目

如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成角的余弦值. 答案：解：（Ⅰ）如图，取 AE 的中点 H 连接 HG ， HD ，又 G 是 BE 的中点， 所以 HG//AB ，且 HG=12AB ， 又 F 是 CD 中点，所以 DF=12CD ， 由四边形 ABCD 是矩形得， AB//CD ， AB=CD ， 所以 GH//DF 且 GH=DF . 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF//DH ， ∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE. （Ⅱ）如图，在平面 BEC 内，过点 B 作 BQ//EC ，因为 BE⊥CE ，所以 BE⊥BQ .又 AB⊥ 平面 BEC ，所以 AB⊥BE ， AB⊥BQ . 以 B 为原点，分别以 BE⇀ ， BQ⇀ ， BA⇀ 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 ADE ，设 AB=4 ，则 A(0，0，4) ， B(0,0,0) ， E(4,0,0) ， F(4,4,2) . 因为 AB⊥ 平面 BEC ，所以 BA⇀=(0,0,4) 为平面 BEC 的法向量，设 n=(x，y，z) 为平面 AEF 的法向量. 又 AE⇀=(4，0，−4) ， AF⇀=(4，4，−2) {n⋅AE⇀=0n⋅AF⇀=0  ,即 {4x−4z=04x+4y−2z=0  ，取 n=(2，−1，2) ， ∴cos<BA⇀ ， n>=BA⇀⋅n|BA⇀||n|=2×44×3=23 ， 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成角的余弦值为 23 .

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