题目

如图1，在四边形 中， ，E是 的中点，将 沿 折起至 的位置，使得二面角 的大小为 （如图2），M，N分别是 的中点． （1） 证明： ∥平面 ． （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 证明：如图，取 ED 的中点P，连接 MP，NP ． 因为E是 AD 的中点， AD=2BC ，所以 ED=BC ． 又 AD ∥ BC ，所以四边形 BCDE 是平行四边形． 因为M，N分别是 A′D，BC 的中点，所以 MP ∥ A′E，NP ∥ BE ． 又 MP⊄ 平面 A′BE，NP⊄ 平面 A′BE ，所以 MP ∥平面 A′BE，NP ∥平面 A′BE ． 因为 MP∩NP=P ，所以平面 MNP ∥平面 A′BE ． 又 MN⊂ 平面 MNP ，所以 MN ∥平面 A′BE ． 解：取 BE 的中点O，连接 A′O，CO，CE ． 在图1中，因为 AD=2AB=2BC=2CD ，所以 △ABE 与 △BCE 是等边三角形， 所以在图2中， A′O⊥BE，CO⊥BE ，所以 ∠A′OC=120° ． 以O为原点，射线 OB 为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ． 设 BC=2 ，则 B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(−2，3，0)，A′(0，−32，32) ， A′B→=(1，32，−32)，BD→=(−3，3，0) ． 设平面 A′BD 的法向量为 m→=(x，y，z) ， 则 {x+32y−32z=0，−3x+3y=0， 令 x=1 ，则 y=3，z=53 ，即 m→=(1，3，53) ．      由题可知，平面 BCD 的一个法向量为 n→=(0，0，1)，cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→||n→|=56161 ． 由图可知，二面角 A′−BD−C 为钝角，故二面角 A′−BD−C 的余弦值为 −56161 ．

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