题目

在△ABC中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中内弧．例如，下图中 是△ABC的一条中内弧． （1） 如图，在Rt△ABC中， 分别是 的中点．画出△ABC的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长； （2） 在平面直角坐标系中，已知点 ，在△ABC中， 分别是 的中点． ①若 ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 答案： 解：如图2， 以DE为直径的半圆弧 DE⌢ ，就是△ABC的最长的中内弧 DE⌢ ，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2 2 ，D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC=ACsinB=22sin45°=4,DE=12BC=12×4=2 ， ∴弧 DE⌢ =12×2π=π ； 解：如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G， ①当 t=12 时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1）， F(12,1) ， 设 P(12,m) 由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA=OC，∠AOC=90° ∴∠ACO=45°， ∵DE∥OC ∴∠AED=∠ACO=45° 作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF= 12 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求； ∴m⩽12 综上所述， m⩽12 或m≥1． ②图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上， ∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM= 32 ∴P(t,32) ， ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠AOB=90°， ∴AE=AD2+DE2=12+(2t)2=4t2+1 ∵PD=PE， ∴∠AED=∠PDE ∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°， ∴∠DAE=∠ADP ∴AP=PD=PE=12AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ∴12AE⩽32 ，AE≤3，即 4t2+1⩽3 ，解得： t⩽2 ∵t>0∴0<t⩽2

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