题目

已知等差数列 的前n项和为 ，并且 ，数列 满足： ， ，记数列 的前n项和为 ． （1） 求数列 的通项公式 及前n项和为 ； （2） 求数列 的通项公式 及前n项和为 ； （3） 求 的最大值. 答案： 解：设数列{an}的公差为d， 由题意得 {a1+d=25a1+10d=15 ，解得 {a1=1d=1 ， ∴an＝n， ∴ Sn=n2+n2 解：由题意得 bn+1bn=12⋅n+1n ， 累乘得 bn=bnbn−1⋅bn−1bn−2⋅⋯⋅b2b1⋅b1=(12)n(nn−1×n−1n−2×⋯×21)=n2n ． 由题意得 Tn=12+222+323+⋯+n2n ① 12Tn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1 ② ①﹣②得： 12Tn=12+14+18+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−−n+22n+1 ∴ Tn=2−n+22n 解：由上面可得 2Sn(2−Tn)n+2=n2+n2n ，令 f(n)=n2+n2n ， 则f（1）＝1， f(2)=32 ， f(3)=32 ， f(4)=54 ， f(5)=1516 ． 下面研究数列 f(n)=n2+n2n 的单调性， ∵ f(n+1)−f(n)=(n+1)2+n+12n+1−n2+n2n=(n+1)(2−n)2n+1 ， ∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减． 又n=1时， f(n+1)−f(n)<0 ，n=2时， f(n+1)−f(n)=0 ，即 f(3)=f(2) ， 所以n=3或n=2时， f(n) 最大为 f(3)=f(2)=32 ， ∴ f(n)=n2+n2n 的最大值为 32

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