题目

如图所示，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G、H分别为边CD、DA的中点，点M是线段BE上的动点． （I）求证：GH⊥DM； （II）当三棱锥D-MGH的体积最大时，求点A到面MGH的距离． 答案：（I）证明：连接AC、BD相交于点O． ∵BE⊥平面ABCD．而AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC． 又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC． ∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE． ∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH∥AC，则GH⊥平面BDE． 而DM⊂平面BDE，∴GH⊥DM （II）解：菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°． ∵DG=DH=1， ∴S△DGH= 12DG⋅DHsin1200 = 12×1×1×32=34 ， ∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD， ∴ VD−MGH=VM−DGH=13S△DGH⋅BM = 312BM ． 显然，当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时（VD-MGH）max= 312×2=36 ． 且MG=MH= 7 ，GH= 3 ，则 S△MGH=12×3×52=534 ， ∵H是AD中点，所以A到平面MGH的距离d1等于到平面MGH的距离d2， 又VD-MGH=VM-DGH，∴ 36=13×534d2 ，得d2= 25 ． ∴A到平面MGH的距离为 25 ．

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