题目

设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点． （1） 若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程； （2） 在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（ ，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x= 于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1 ， k2 ， 试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 答案： 解：由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），∵∠QAF1=90°，∴b2=3c2，由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，即 |−3c−7|5 =2c，解得：c=1，b2=3，a2=4，∴椭圆的标准方程： x24+y23=1 解：设E（x1，y1），F（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+ 32 ，代入椭圆方程 {x24+y23=1x=my+32 ，4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，y1+y2=﹣ −36m4(3m2+4) ，y1y2=﹣ 214(3m2+4) ，由B，E，M，三点共线，可知： yM83+2 = y1x1+2 ，即yM= 14y13(x1+2) ，同理可得：yN= 14y23(x2+4) ，∴k1k2= yM83−32 × yN83−32 = 36yMyN49 = 64y1y24(x1+2)(x2+2) ，由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，∴k1k2= 64×−214(3m2+4)4m2×−214(3m2+4)−14×36m24(3m2+4)+49 =﹣ 127 ，∴k1k2是否为定值﹣ 127

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