题目

已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。 （1） 证明：f'(x)在区间(0, π)存在唯一零点； （2） 若xϵ[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。 答案： 设 g(x)=f′(x) ，则 g(x)=cosx+xsinx−1,g′(x)=xcosx .当 x∈(0,π2) 时， g′(x)>0 ；当 x∈(π2,π) 时， g′(x)<0 ，所以 g(x) 在 (0,π2) 单调递增，在 (π2,π) 单调递减.又 g(0)=0,g(π2)>0,g(π)=−2 ，故 g(x) 在 (0,π) 存在唯一零点.所以 f′(x) 在 (0,π) 存在唯一零点. 由题设知 f(π)⩾aπ,f(π)=0 ，可得a≤0.由（1）知， f′(x) 在 (0,π) 只有一个零点，设为 x0 ，且当 x∈(0,x0) 时， f′(x)>0 ；当 x∈(x0,π) 时， f′(x)<0 ，所以 f(x) 在 (0,x0) 单调递增，在 (x0,π) 单调递减.又 f(0)=0,f(π)=0 ，所以，当 x∈[0,π] 时， f(x)⩾0 .又当 a⩽0,x∈[0,π] 时，ax≤0，故 f(x)⩾ax .因此，a的取值范围是 (−∞,0] .

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