题目

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥DC， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．1.（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；2.（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．3.（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说出个数即可）  答案： 1.（1） ∵DC∥AB，AD=DC=CB，∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，        ∠DAB=∠CBA， ∴∠DAB=2∠DBA，∵∠DAB+∠DBA=90，  ∴∠DAB=60  …………3分   ∵∠DBA=30， AB=4，  ∴DC=AD=2，Rt△AOD，OA=1，OD=，∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．2.（2）由已知得，满足条件的抛物线必过点A（-1，0），B（3，0），D（0，）故可设所求为  =x2+bx+c   ……………6分将点的坐标代入上式得 , 解得，所求抛物线的解析式为  =    ……………9分其对称轴L为直线=1．3.（3）使PDB为等腰三角形的点P有5个．…………12分 PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形； ②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5．由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个解析:略 

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