题目

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1） 如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标； （2） 在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； （3） 如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围． 答案： 解：当k=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，直线的解析式为y=x+1，联立直线与抛物线，得：{y=x+1y=x2−1 ，解得x1=﹣1，x2=2，当x=﹣1时，y﹣x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3） 解：设P（x，x2﹣1）如下图，过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，则F（x，x+1），PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2，S△ABP=S△PFA+S△PFB= 12 PF（xF﹣xA）+ 12 PF（xB﹣xF） 32 PF，S△ABP= 32 （﹣x2+x+2）=﹣ 32 （x﹣ 12 ）2+ 278∵当x= 12 时，yP=（ 12 ）2﹣1=﹣ 34 ，∴△ABP面积的最大值为 278 ，此时点P的坐标（ 12 ，﹣ 34 ） 解：如下图：令二次函数y=0，x2+（k﹣1）x﹣k=0，即：（x+k）（x﹣1）=0，x=﹣k，或x=1，C（﹣k，0），D（1，0），直线y=kx+1过（0，1），将抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k关于x轴对称，得：y=﹣x2﹣（k﹣1）x+k联立直线y=kx+1，得：x2+（2k﹣1）x+1﹣k=0△=（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）=0得：k= 32 （舍）或k=﹣ 32 ，∵k＞0，∴0＜k＜ 32 ，∵直线y=kx+1经过点C（﹣1，0）时，k=1，∴由图象可知，0＜k＜ 32 或k＞1时，直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点

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