题目

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD=a，PD= a． （1） 若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2） 求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小． 答案： 解：证明：连接PC，交DE与N，连接MN， 在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC， 又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以 AC∥平面MDE 解：以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P（0，0， 2 a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以 PB→=(a,a,−2a) ， BC→=(−a,a,0) ， 设平面PAD的单位法向量为 n1→ ，则可取 n1→=(0,1,0) 设面PBC的法向量 n2→=(x,y,z) ，则有 {n1→⋅PB→=(x,y,z)⋅(a,a,−2a)=0n1→⋅BC→=(x,y,z)⋅(−a,a,0)=0 即： {x+y−2z=0−x+y=0 ，取z=1，则 x=22,y=22 ∴ n2→=(22,22,1) 设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴ cosθ=|n1→⋅n2→||n1→|⋅|n2→|=221⋅2=12 ∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°

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