题目

已知各项都大于1的数列{an}的前n项和为Sn ， 4Sn－4n＋1＝an2：数列{bn}的前n项和为Tn ， bn＋Tn＝1. （1） 分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式； （2） 设数列{cn}满足cn＝anbn ， 若对任意的n∈N*.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，试求实数λ的取值范围. 答案： 解：由题可知， ∵4Sn−4n+1=an2 ① ∴4Sn+1−4(n+1)+1=an+12 ② 由②-①得： 4an+1−4=an+12−an2 ， ∴an+12−4an+1+4=an2 ， ∴(an+1−2)2=an2 ， 故 an+1−an=2 或 an+1+an=2 ， 又 ∵4Sn−4n+1=an2 ， ∴a1=1 （舍）或 a1=3 ， 若 an+1+an=2 ，则有 a1+a2=2 ，而 a1=3 ，所以 a2=−1 ，不满足题意， 所以 an+1−an=2 ，故 an=2n+1 ∵bn+Tn=1 ， ∴bn+1+Tn+1=1 ， 两式相减得 bn+1−bn+(Tn+1−Tn)=2bn+1−bn=0 ， ∴bn+1=12bn ， 又 ∵b1+B1=2b1=1 ， ∴b1=12 ， ∴{bn} 是等比数列，首项为 12 ，公比为 12 ， ∴bn=12n 解：设 Mn=c1+c2+c3+⋯+cn 由（1）得 Mn=3×12+5×122+7×123+⋯+(2n+1)×12n ， ∴12Mn=3×122+5×123+7×124+⋯+(2n+1)×12n+1 ， 相减得： 12Mn=3×12+2×(122+123+⋯+12n)−(2n+1)×12n ， ∴Mn=5−2n+52n ， 又 ∵Sn=n(n+2) ， ∴5(λn+3bn)−2bnSn>λn(c1+c2+c3+⋯+cn) 可化为： ∴5(λn+312n)−212n⋅n(n+2)>λn(5−2n+52n) ， 即 −λ<15n(2n+5)+12n+5−1 ， 又 ∵15n(2n+5)+12n+5−1>−1 ， ∴−λ≤−1 ， ∴λ≥1 .

查看本题答案和解析