题目

已知函数 . （1） 求 的单调区间； （2） 若不等式 在 时恒成立，求实数a的取值范围； 答案： 解：函数 f(x)=ln(1+x)−ax 的定义域为 (−1,+∞) ， f′(x)=1x+1−a . 当 a≤0 时， f′(x)>0 对任意的 x∈(−1,+∞) 恒成立， 此时，函数 y=f(x) 的单调递增区间为 (−1,+∞) ； 当 a>0 时，令 f′(x)=0 ，可得 x=1a−1 . 当 −1<x<1a−1 时， f′(x)>0 ；当 x>1a−1 时， f′(x)<0 . 此时，函数 y=f(x) 的单调递增区间为 (−1,1a−1) ，单调递减区间为 (1a−1,+∞) . 综上所述，当 a≤0 时，函数 y=f(x) 的单调递增区间为 (−1,+∞) ； 当 a>0 时，函数 y=f(x) 的单调递增区间为 (−1,1a−1) ，单调递减区间为 (1a−1,+∞) ； 解：设 g(x)=f(x)+e2x−1=ln(x+1)−ax+e2x−1 ，则 g(0)=0 ， ∴g′(x)=2e2x+11+x−a ， g″(x)=4e2x−1(x+1)2 ， 则函数 y=g″(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增，当 x≥0 时， g″(x)≥g″(0)=3>0 ， 所以，函数 y=g′(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增，则 g′(x)≥g′(0)=3−a . ①当 3−a≥0 时，即当 a≤3 时， g′(x)≥0 对任意的 x≥0 恒成立， 所以，函数 y=g(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增，当 x≥0 时， g(x)≥g(0)=0 ，合乎题意； ②当 3−a<0 时，即当 a>3 时，由于函数 y=g′(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增， 且 g′(lna2)=a+11+lna2>0 ， 由零点存在定理可知，存在 x0∈(0,lna2) ，使得 g′(x0)=0 ， 当 0<x<x0 时， g′(x)<0 ；当 x>x0 时， g′(x)>0 . 此时，函数 y=g(x) 的单调递减区间为 (0,x0) ，单调递增区间为 (x0,+∞) ， 所以， g(x0)<g(0)=0 ，不合乎题意. 综上所述，实数 a 的取值范围是 (−∞,3] .

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