题目

已知函数 (b为常数) （1） 若b=1,求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1处的切线方程; （2） 若b≥2,对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数b的值. 答案： 解：若b=1，函数 H(x)=lnx−12x2+x(x>0) ， ∴ H′(x)=1x−x+1 ，故 H′(1)=1 又切点为 (1,12) ， 故所求切线方程为2x﹣2y﹣1=0 解：不妨设x1>x2， ∵函数f(x)=lnx在区间[1，2]上是增函数， ∴f(x1)>f(x2)， ∵函数g(x)图象的对称轴为x=b，且b>2， ∴当b≥2时，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数， ∴g(x1)<g(x2)， ∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)， 等价于函数 h(x)=f(x)+g(x)=1nx+12x2−bx 在区间[1，2]上是增函数， 等价于 h′(x)=1x+x−b⩾0 在区间[1，2]上恒成立， 等价于 b⩽x+1x 在区间[1，2]上恒成立， ∴b≤2， 又b≥2，故b=2

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