题目

如图，在直三棱柱 中， ， 为棱 的中点， . （1） 证明： 平面 ； （2） 设二面角 的正切值为 ， ， ，求异面直线 与 所成角的余弦值. 答案： 证明：取 AB 的中点 F ，连接 OF ， DF ，∵侧面 ABB1A1 为平行四边形，∴ O 为 AB1 的中点，∴ OF//__12BB1 ，又 C1D//__12BB1 ，∴ OF//__C1D ，∴四边形 OFDC1 为平行四边形，则 C1O//DF .∵ C1O⊄ 平面 ABD ， DF⊂ 平面 ABD ，∴ C1O// 平面 ABD . 解：过 C 作 CH⊥AB 于 H ，连接 DH ，则 ∠DHC 即为二面角 D−AB−C 的平面角.∵ CH=2 ， tan∠DHC=CDCH=22 ，∴ CD=1 .以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C−xyz ，如图所示，则 C1(0，0，2) ， B(0，2，0) ， D(0，0，1) ， A1(2，0，2) ，则 O(1，1，1) ， BE⇀=13BA1⇀=(23，−23，23) ， CE⇀=BE⇀−BC⇀=(23，43，23) .∵ C1O⇀=(1，1，−1) ，∴ cos〈C1O⇀，CE⇀〉=C1O⇀⋅CE⇀|C1O⇀|⋅|CE⇀|=433×263=23 ，∴异面直线 C1O 与 CE 所成角的余弦值为 23 .

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