题目

已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域； （2）当时，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围. 答案：【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以，即. ，，， 所以在上的值域为. （2）（i）当时，，由，得，此时函数有三个零点，符合题意. （ii）当时，.由，得.当时，；当时，.若函数有三个零点，则需满足且，解得. （iii）当时，.由，得，. ①当，即时，因为，此时函数至多有一个零点，不符合题意； ②当，即时，因为，此时函数至多有两个零点，不符合题意； ③当，即时， 若，函数至多有两个零点，不符题意； 若，得，因为，所以，此时函数有三个零点，符合题意； 若，得，由，记，则，所以，此时函数有四个零点，不符合题意. 综上所述：满足条件的实数. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．

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