题目

已知函数 ． （Ⅰ）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围； （Ⅱ）求函数 在 上的最大值． 答案：解：（Ⅰ）由已知得 f(x)=−x2+2ax−3=−(x−a)2+a2−3 ． ∴函数 f(x)=−x2+2ax−3 的图象是开口朝下，且对称轴为直线x＝a的抛物线， 因为函数 y=f(x) 在 (−∞，1) 上是增函数， 所以a≥1． 故实数a的取值范围是[1，＋∞）； （Ⅱ）①当a≤1时，函数 y=f(x) 在[1，2]上是减函数， 于是 ymax=f(1)=2a−4 ； ②当1＜a＜2时，函数 y=f(x) 在[1，a]上是增函数，在（a，2]上是减函数， 于是 ymax=f(a)=a2−3 ；、③当a≥2时，函数 y=f(x) 在[1，2]上是增函数， 于是 ymax=f(2)=4a−7 ．

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