题目

已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若对任意 ，不等式 恒成立，求正整数 的最小值. 答案： 解：当 a=0 时， f(x)=xlnx+x ，则 f′(x)=lnx+2 ， ∴ 切线的斜率为 k=f′(1)=2 ，又 f(1)=1 ， ∴ 所求切线的方程为 y−1=2(x−1) ，即为 2x−y−1=0 解：当 0<x<1 时， f(x)>0 ，整理可得 a>xlnx+xx−1 ， 令 g(x)=xlnx+xx−1，x∈(0，1) ，则 g′(x)=x−lnx−2(x−1)2 令 h(x)=x−lnx−2 ，则 h′(x)=1−1x ， 由 h′(x)=0 ，解得 x=1 ， 当 0<x<1 时， h′(x)≤0 ，函数 h(x) 单调递减， ∵h(1)=−1<0，h(1e2)=1e2−ln1e2−2=1e2>0 ， ∴h(x) 在区间 (0，1) 上存在一个零点 x0 ， 此时 h(x0)=x0−lnx0−2=0 ，即 lnx0=x0−2 ， 当 0<x<x0 时， h(x)>0 ，则 g′(x)>0 ，函数 g(x) 单调递增， 当 x0<x<1 时， h(x)<0 ，即 g′(x)<0 ，函数 g(x) 单调递减， ∴g(x) 有极大值，即最大值为 g(x0)=x0lnx0+x0x0−1=x0(x0−2)+x0x0−1=x0 ， 则 a>x0 ， ∵x0∈(0，1) ， ∴ 正整数 a 的最小值是1.

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