题目

如图，已知直线与相离，于点， , 与相交于点，与相切于点，的延长线交直线于点 . （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由；（2）若，求的半径和线段的长；（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围. 答案：解： AB=AC ，理由如下：连接 OB . ∵ AB 切 ⊙O 于 B ， OA⊥AC ， ∴ ∠OBA=∠OAC=90° ， ∴ ∠OBP+∠ABP=90° ， ∠ACP+∠APC=90° ， ∵ OP=OB ， ∴ ∠OBP=∠OPB ， ∵ ∠OPB=∠APC ， ∴ ∠ACP=∠ABC ， ∴ AB=AC ；解：延长 AP 交 ⊙O 于 D ，连接 BD ，设圆半径为 r ，则 OP=OB=r ， PA=5−r ，则 AB2=OA2−OB2=52−r2 ， AC2=PC2−PA2 =(25)2−(5−r)2 ， ∴ 52−r2=(25)2−(5−r)2 ，解得： r=3 ， ∴ AB=AC=4 ， ∵ PD 是直径， ∴ ∠PBD=90°=∠PAC ，又∵ ∠DPB=∠CPA ， ∴ ΔDPB∽ΔCPA ， ∴ CPPD=APBP ， ∴ 253+3=5−3BP ，解得： PB=655 . ∴ ⊙O 的半径为3，线段 PB 的长为 655 ；解：作出线段 AC 的垂直平分线 MN ，作 OE⊥MN ，则可以推出 OE=12AC= 12AB=1252−r2 又∵圆 O 与直线 MN 有交点， ∴ OE=1252−r2≤r ， 25−r2≤2r ， 25−r2≤4r2 ， r2≥5 ， ∴ r≥5 ，又∵圆 O 与直线相离， ∴ r<5 ，即 5≤r<5 .

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