题目

如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点． （1） 证明：EF∥面PAD； （2） 证明：面PDC⊥面PAD； （3） 求四棱锥P—ABCD的体积． 答案： 解：如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F，又E是PC的中点，所以，EF∥AP∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD 解：∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD ∩ 面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP ⊂ 面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线且在面PDC内，∴AP⊥面PCD，又AD ⊂ 面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 解：取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高，∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积 V=13PO⋅AB⋅AD=23

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