题目

已知函数f（x）= ． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数． 答案：解：（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1} （Ⅱ）f（x）为偶函数．∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）∴f（x）为偶函数； （III）证明：f（x）= 1+x21−x2 = 2−(1−x2)1−x2 = 21−x2 ﹣1，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= 21−x12 ﹣ 21−x22 =2（ x12−x22(1−x12)(1−x22) ） 2(x1−x2)(x1+x2)(1−x1)(1+x1)(1−x2)(1+x2) ，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数

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