题目

在△ABC中，P为边AB上一点． （1） 如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB； （2） 若M为CP的中点，AC=2．①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长． 答案： 解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，∴ ACAP=ABAC ，∴AC2=AP•AB 解：①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，∵M是PC的中点，∴MG∥AC，∴∠BGM=∠A，∵∠ACP=∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴ APGM=ACBG ，即 2x1=23−x ，∴x= 3±52 ，∵AB=3，∴AP=3﹣ 5 ，∴PB= 5 ；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，设BP=x．∵∠ABC=45°，∠A=60°，∴CH= 3 ，HE= 3 +x，∵CE2= (3)2 +（ 3 +x）2，∵PB=BE，PM=CM，∴BM∥CE，∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，∵∠E=∠E，∴△ECP∽△EAC，∴ CEEP=AECE ，∴CE2=EP•EA，∴3+3+x2+2 3 x=2x（x+ 3 +1），∴x= 7 ﹣1，∴PB= 7 ﹣1．

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