题目

如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且 ＝ ，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F. （1） 求证：MF是⊙O的切线； （2） 若CN＝3，BN＝4，求CM的长. 答案： 证明：连接OM， ∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM， ∵BM平分∠ABD， ∴∠OBM＝∠MBF， ∴∠OMB＝∠MBF， ∴OM∥BF， ∵MF⊥BD， ∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°， ∴MF是⊙O的切线 解：如图，连接 AN ， ON ∵ AN^=BN^ ， ∴AN=BN=4 ∵AB 是直径， AN⌢=BN⌢ ， ∴∠ANB=90° ， ON⊥AB ∴AB=AN2+BN2=42 ∴AO=BO=ON=22 ∴OC=CN2−ON2=9−8=1 ∴AC=22+1 ， BC=22−1 ∵∠A=∠NMB ， ∠ANC=∠MBC ∴ΔACN∽ΔMCB ∴ ACCM=CNBC ∴AC·BC=CM·CN ∴7=3·CM ∴CM=73

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