题目

如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，连接EC，AB＝m，BC＝n，m＞ . （1） 若m＝3，n＝4，连接AC，CE平分∠ACD，求DE的长； （2） 若E为AD中点，过点E作EF⊥EC交AB于F点，连接FC， ①补全图形并证明：EF平分∠AFC； ②当△AEF与△BFC相似时，求 的值. 答案： 解：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=∠D=90° ∵CE 平分 ∠ACD ∴DE=FE,CF=CD ∵AB=m=3,BC=n=4 ∴AC=5 ∵CF=CD=AB=3 ∴AF=AC−CF=2 ∵AE=AD−DE=4−DE ∴Rt△AEF 中，根据勾股定理得， (4−DE)2=22+DE2 ∴16−8DE+DE2=4+DE2 ∴DE=32 ； 解：①如图，延长 FE 和 CD 交于点 G ， ∵E 是 AD 的中点 ∴AE=DE ∵∠A=∠GDE=90°,∠AEF=∠DEG ∴△AEF≅△DEG(ASA) ∴∠G=∠AFE,EF=EG ∴E 为 FG 的中点， ∵CE⊥FG ∴CE 是 FG 的垂直平分线 ∴CF=CG ∴∠G=∠CFE ∴∠AFE=∠CFE ∴  EF平分∠AFC； ②若 ∠AFE=∠BCF ，则 ∠EFC=∠BCF∴FG//BC ，这与题目相矛盾， 即 ∠AFE≠∠BCF ∴ 当△AEF ∼ △BCF相似时， ∴∠AFE=∠BFC ， 由①可知， ∠AFE=∠CFE ， ∴∠AFE=∠CFE=∠BFC ∴∠AFE=∠CFE=∠BFC=180°3=60° ∴∠BCF=∠AEF=∠ECF=90°−60°=30° ∴∠DEC=60° ∴tan∠DEC=DCED ∴3=DCED ∴DC2ED=32 ∴DCAD=32 ∴mn=32 .

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