题目

设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 . （1） 若 ，试证明 中还有另外两个元素； （2） 集合 是否为双元素集合，并说明理由； （3） 若 中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于 所有元素的积，求集合 . 答案： 证明：若x∈A，则 11−x∈A．   又∵2∈A， ∴ 11−2=−1∈A． ∵-1∈A，∴ 11−(−1)=12∈A． ∴A中另外两个元素为 −1 ， 12 解： x∈A ， 11−x∈A ， x−1x∈A ，且 x≠11−x ， 11−x≠x−1x ， x≠x−1x ，故集合 A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合 解：由 x∈A ， 11−x∈A ，可得 A={x，11−x，x−1x}   ，所有元素积为1，∴ (x−1x)2=1⇒x=12 ， 12+2−1+m+11−m+m−1m=143⇒m=−12 、 3 、 23 ，∴ A={12,2,−1,−12,3,23} .

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