题目

综合与探究 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F。 （1） 如图1，当点F恰好落在BC边上时，判断四边形ABFE的形状，并说明理由。 （2） 如图2，当点F在矩形ABCD内部时，延长BF交DC边于点G。 ①试探究线段BG，AB，DG之间的数量关系，并说明理由。 ②当G点分CD边的比为1：3时，试探究矩形ABCD的边长AD和AB之间的数量关系，并说明理由。 答案： 解：四边形ABFE是正方形 理由如下： ∵△BFE是由△BAE沿BE折叠而来的， ∴∠BFE=∠BAE=90°，AB=BF，AE=EF ∵∠ABC=90° ， ∴四边形ABFE为矩形，又∵AB=BF， ∴矩形ABFE是正方形 解：BG=AB+ DG 理由如下：如图2，连接EG ①由(1)可知BF=AB，EF=AE，∠BFE=∠BAE=90°， ∴∠EFG=∠EDG= 90° ∵E是AD的中点，∴AE= ED， ∴EF= ED， ∴Rt△EFG≌Rt△EDG， ∴DG= FG， ∴BG=BF+FG，即BG=AB+DG， ②AD= 3 AB或AB =AD 理由如下：当CG：DG=1：3时， 设CG= m，则DG= 3m． ∴AB=CD= BF=4m，BG=4m+3m=7m， 在Rt△BCG中， AD=BC= BG2−CG2=49m2−m2=43m=4m×3 ∴AD= 3 AB 当CG：DG=3：1时， 设DG=n，则CG=3n， ∴AB=CD=BF=4n，BG=4n+n= 5n 在Rt△BCG中， AD=BC= BG2−CG2=25n2−9n2 =4n， ∴AD=AB 综上所证，当G点分CD边的比为1：3时，矩形ABCD的边长AD和AB之间的数量关系为AD= 3 AB或AB=AD

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