题目

2021中国足球协会五人制足球超级联赛第二阶段比赛于9月8日在贵州省黔南州开赛，这是五超联赛第一次走进贵州省。五人制足球的赛场长 ，宽 ，如图所示。在比赛中，攻方球员在离中线 处向右突破防守队员，将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为在地面。足球做初速度为 的匀减速直线运动，加速度大小为 。该球员将足球踢出后，滞后 由静止启动追赶足球，他的运动可看作是匀加速直线运动，加速度为 ，能达到的最大速度为 ，并能保持较长时间。 （1） 该球员从启动追赶足球时，球员与球的最远距离是多大？ （2） 该球员从启动开始至少经过多长时间能追上足球？此时足球的速度多大？ 答案： 球员在追上足球前与足球速度相等时，他们相距最远，球员运动的时间为 t1 ，球员滞后 t0=1s ，由题意知，此时球员的速度 v=a2t1 足球的速度 v=v1−a1(t0+t1) 联立解得 t1=3s 足球运动的位移 x=v1(t0+t1)−12a1(t0+t1)2=5×(1+3)m−12×0.5×(1+3)2m=16m 球员运动的位移 x′=12a2t12=12×1×32m=4.5m 相距最远距离 Δx=x−x′=16m−4.5m=11.5m 足球匀减速运动时间为 t2=v1a1=50.5s=10s 球员滞后 t0=1s 开始追赶足球过程中加速时间 t3=v2a2=61s=6s 球员的位移 x2=12a2t32=12×1×62m=18m 足球的位移 x1=v1(t0+t3)−12a1(t0+t3)2=5×(1+6)−12×0.5×(1+6)2m=22.75m 由于 x2<x1 ，说明球员在加速过程没有追上足球；足球从开始做匀减速运动到停下来的位移 x0=v122a1=522×0.5m=18m 球员加速后做匀速直线运动，到足球停止运动时，其位移 x3=v2(t2−t3−t0)=6×(10−6−1)m=25m 由于 x2+x3>x0 ，说明足球停止运动前，球员已经追上足球；设该球员经过时间 t4 能追上足球，由题意知 v1(t0+t4)−12a1(t0+t4)2=12a2t32+v2(t4−t3) 解得 t4=7s 此时足球的速度 v′1=v1−a1(t0+t4)=5m/s−0.5×(1+7)m/s=1m/s

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