题目

在△ABC中，已知 tanAtanB﹣tanA﹣tanB= ． （1） 求∠C的大小； （2） 设角A，B，C的对边依次为a，b，c，若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围． 答案： 解：依题意： tanA+tanB1−tanAtanB=−3 ，即 tan(A+B)=−3 ． 又0＜A+B＜π，∴ A+B=2π3 ，∴ C=π−A−B=π3 解：由三角形是锐角三角形可得 A＜π2 ， B＜π2 即 π6＜A＜π2 ． 由正弦定理得 a=csinC×sinA=43sinA,b=43sinB=43sin(2π3−A) ，∴ a2+b2=163[sin2A+sin2(2π3−A)] =163[1−cos2A2+1−cos(4π3−2A)2] = 163−83[cos2A+cos(4π3−2A)] =163−83[cos2A−12cos2A−32sin2A] = 163−83[12cos2A−32sin2A]=163+83sin(2A−π6) ．∵ π6＜A＜π2 ，∴ π6＜2A−π6＜5π6 ，∴ 12＜sin(2A−π6)≤1 ，从而 203＜a2+b2≤8 ．则a2+b2的取值范围为：（ 203 ，8]

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