题目

如图长方体 的 ，底面 的周长为4， 为 的中点.（Ⅰ）判断两直线 与 的位置关系，不需要说明理由；（Ⅱ）当长方体 体积最大时，求二面角 的大小；（Ⅲ）若点 满足 ，试求出实数 的值，使得 平面 . 答案：解：(Ⅰ) EC1 与 AD 是相交直线．连接 AB1 ， C1D ，则 AB1C1D 是平行四边形， ∵E 也是 AB1 的中点，∴ AE∥C1D ， AE=12C1D ∴ AEC1D 为梯形， A ， E ， C1 ， D 四点共面， EC1 与 AD 为梯形两腰，故 EC1 与 AD 相交.(Ⅱ)设 AB=b ， AD=2−b ， VABCD−A1B1C1D1=b(2−b)×AA1=b(2−b)≤(b+2−b2)2=1当且仅当 b=2−b ， b=1 时取等号分别以边 AB ， AD ， AA1 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示直角坐标系，则 B(1，0，0) ， A1(0，0，1) ， C(1，1，0) ， D(0，1，0) BA1⇀=(−1，0，1) ， CD⇀=(−1，0，0) ， CA1⇀=(−1，−1，1) ，设平面 A1CD 的法向量为 n⇀=(x，y，z) ，则 {−x=0−x−y+z=0 ，取 z=1 ，则 n⇀=(0，1，1) 同理平面 BA1C 的法向量 m⇀=(1，0，1) 设所求二面角 B−A1C−D 为 θ ，则 |cosθ|=cos〈m⇀，n⇀〉=|m⇀⋅n|⇀|m⇀||n|⇀=12 ，又二面角 B−A1C−D 为钝角，所以 θ=120 °(Ⅲ)设点 B(t，0，0) ， C(t，2−t，0) ， D(0，2−t，0) ，由 A1P⇀=λA1C⇀ ，可得 P(λt，λ(2−t)，1−λ) ，所以 BP⇀=(λt−t，λ(2−t)，1−λ) ， BD⇀=(−t，2−t，0) 由 {BP⇀⋅A1C⇀=0BD⇀⋅A1C⇀=0 ，得 t=1 ， λ=23

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