题目

已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=. (1)求b1，b2，b3，b4； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求当4aSn<bn恒成立时实数a的取值范围. 答案： (1)由题设得bn+1===， 因为a1=，b1=， 所以b2=，b3=，b4=. (2)因为bn+1-1=-1， 所以==-1+， 所以数列是以-4为首项、-1为公差的等差数列. 所以=-4-(n-1)=-n-3， 所以bn=1-=. (3)an=1-bn=， 所以Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+=-=， 所以4aSn-bn=-=. 当(a-1)n2+3(a-2)n-8<0恒成立即可满足题意， 设f(n)=(a-1)n2+3(a-2)n-8. 当a=1时，f(n)=-3n-8<0恒成立； 当a>1时，由二次函数的性质知不可能恒成立； 当a<1时，对称轴方程为-·=-<0. 因为f(n)在[1，+∞)上为单调减函数， f(1)=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0， 所以a<，所以a<1时，4aSn<bn恒成立. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.

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