题目

如图， 为坐标原点，点 为抛物线 的焦点，且抛物线 上点 处的切线与圆 相切于点 （1） 当直线 的方程为 时，求抛物线 的方程； （2） 当正数 变化时，记 分别为 的面积，求 的最小值。 答案： 解：设点P（x0， x022p ），由x2=2py（p＞0）得，y= x22p ，求导y′= xp ， 因为直线PQ的斜率为1，所以 x0p =1且x0- x022p -√2=0，解得p=2 2 ， 所以抛物线C1的方程为x2=4 2 y 解：因为点P处的切线方程为：y- x022p = x0p （x-x0），即2x0x-2py-x02=0， ∴ OQ的方程为y=- px0 x 根据切线与圆切，得d=r，即 |−x02|4x02+4p2=1 ，化简得x04=4x02+4p2， 由方程组 {2x0x−2py−x02=0y=−px0x  ，解得Q（ 2x0 ， 4−x022p ）， 所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|= 1+xo2p2|x0−2x0|=p2+x02p|x02−2x0| 点F（0， p2 ）到切线PQ的距离是d= |−p2−x02|4x02+4p2=12xo2+p2 ， 所以S1= 12|PQ|d=12p2+x02p|x02−2x0|   12xo2+p2 = x02+p24p|x02−2x0| ， S2= 12|OF||xQ|=p2|x0| ， 而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2， 所以 S1S2=x02+p24p|x02−2x0|2|x0|p=(x02+p2)(x02−2)2p2 = (4x02+x04−4x02)(x02−2)2(x04−4x02)=x02(x02−2)2(x02−4) = x02−42+4x02−4 +3≥2 2 +3，当且仅当 x02−42=4x02−4 时取“=”号， 即x02=4+2 2 ，此时，p= 2+22 ． 所以 S1S2 的最小值为2 2 +3

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