题目

如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB, PC，BC，设 OP=m. （1） 求证:当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形. （2） 连结 PB，求 tan∠BPC 的值. （3） 记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值. （4） 作点 O 关于 PC 的对称点O' ，在点 P 的整个运动过程中，当点O' 落在△APB 的内部 (含边界)时，请写出 m 的取值范围. 答案： 证明:∵∠COA=90°，∴PC是直径，∴∠PBC=90°. ∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y轴，∴当A与P重合时，∠OPB=90°，∴四边形POCB是矩形 解:连结OB，（如图1） ∴∠BPC=∠BOC. ∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，∴∠BPC=∠BOC=∠ABO，∴tan∠BPC=tan∠ABO =AOAB=43 ； 解:∵PC为直径，∴M为PC中点. ①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N. ∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON=NC，四边形OABN是矩形，∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4. 设⊙M半径为r，则BM=CM=PM=r，∴MN=BN﹣BM=4﹣r. ∵MN2+NC2=CM2，∴（4﹣r）2+32=r2 解得:r =258 ，∴MN=4 −258=78 . ∵M、N分别为PC、OC中点，∴m=OP=2MN =74 ； ②如图3，当OM∥PB时，∠BOM=∠PBO. ∵∠PBO=∠PCO，∠PCO=∠MOC，∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO. 在△BOM与△COM中，∵∠BOM=∠COM，∠OBM=∠OCM，BM=CM，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC=OB =OA2+AB2= 5. ∵AP=4﹣m，∴BP2=AP2+AB2=（4﹣m）2+32. ∵∠ABO=∠BOC=∠BPC，∠BAO=∠PBC=90°，∴△ABO∽△BPC，∴ OBPC=ABBP ，∴PC =OB⋅BPAB=53BP ，∴PC2 =259 BP2 =259 [（4﹣m）2+32]. 又PC2=OP2+OC2=m2+52，∴ 259 [（4﹣m）2+32]=m2+52 解得:m =52 或m=10（舍去）. 综上所述:m =74 或m =52 . 解:∵点O与点O'关于直线对称，∴∠PO'C=∠POC=90°，即点O'在圆上. 当O'与O重合时，得:m=0； 当O'落在AB上时，得:m =52 ； 当O'与点B重合时，得:m =258 ； ∴0≤m ≤52 或m =258 .

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