题目

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”. （1） 如图，点A，B1 ， C1 ， B2 ， C2 ， B3 ， C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1 ， B2C2 ， B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ； （2） △ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值； （3） 在△ABC中，AB＝1，AC＝2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长. 答案： 【1】B2C2 ∵△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），⊙O的半径为1 ∴ B′C′//x 轴 分 B′C′ 在x轴上方和x轴上方两种情况： 当 B′C′ 在x轴上方时， B′C′ 与 y 轴相交于点 D ，见下图： ∵ OB′=OC′=1 ∴ B′D=12B′C′=12 ∴ OD=OB′2−B′D2=32 ∵△ABC是边长为1的等边三角形，即△ AB′C′ 是边长为1的等边三角形， ∴ ∠AC′D=∠OC′D ， AD⊥B′C′ ∴ △AC′D≌△OC′D ∴ AD=OD=32 ∴ AO=AD+OD=3 ∴ t=3 ； 当 B′C′ 在x轴上方时， B′C′ 与 y 轴相交于点 D ，见下图： 同理， AO=AD+OD=3 ∴ A(0，−3) ； ∴ t=−3 ； ∴ t=3 或 −3 ； 当 AC′ 为⊙O的直径时， OA 取最小值，如下图： ∴ OA 最小值为1， ∠AB′C′=90° ∴ BC=B′C′=AC′2−AB′2=3 ； 当 A 、 B′ 、 O 三点共线时， OA 取最大值， OA=AC′=2 ，如下图： 作 AE⊥OC′ 交 OC′ 于点E，作 C′F⊥AO 交 AO 于点F，如下图 ∵ OA=AC′=2 ∴ OE=12OC′=12 ∴ AE=AO2−OE2=152 ∵ 12AE×OC′=2×12OB′×C′F ∴ C′F=12AE=154 ∴ OF=OC′2−C′F2=14 ∴ B′F=OB′−OF=34 ∴ BC=B′C′=C′F2+B′F=62 ∴ OA 最小值为1，相应的 BC=3 ； OA 最大值为2，相应的 BC=62 .

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