题目

如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根． （1） 求直线AB和OB的解析式． （2） 求抛物线的解析式． （3） 若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由． 答案： 解：解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．设直线AB的解析式为y=kx+b∴ {−k+b=−13k+b=−3 ，解得： {k=−12b=−32 ，所以直线AB的解析式为y=﹣ 12 x﹣ 32 ；设直线OB的解析式为y=kx，∴3k=﹣3，解得：k=﹣1，∴直线OB的解析式为y=﹣x 解：∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．∴ {a−b=−19a+3b=−3 ，解得： {a=−12b=12 ，∴抛物线的解析式为y=﹣ 12 x2+ 12 x 解：△BOD的面积是存在最大值；过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，﹣ 12 x2+ 12 x）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= 12 DQ•OG+ 12 DQ•GH，= 12 DQ（OG+GH），= 12 [x+（﹣ 12 x2+ 12 x）]×3，=﹣ 34 （x﹣ 32 ）2+ 2716 ，∵0＜x＜3，∴当x= 32 时，S取得最大值为 2716 ，此时D（ 32 ，﹣ 38 ）

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