题目

已知锐角 中， ， . （1） 求证： ； （2） 设 ，求 边上的高. 答案： 证明：∵ sin(A+B)=35 ， sin(A−B)=15 , ∴ {sinAcosB+cosAsinB=35sinAcosB−cosAsinB=15 , 解得 {sinAcosB=25cosAsinB=15 . 则 sinAcosB=2cosAsinB , 故 tanA=2tanB . 解：设 AB 边上的高为 CD ,则 AB=AD+DB=CDtanA+CDtanB=CD2tanB+CDtanB=3CD2tanB , ∵π2<A+B<π,sin(A+B)=35 , ∴cos(A+B)=−45,tan(A+B)=−34 ,则 tanA+tanB1−tanAtanB=−34 , tanA=2tanB ,整理得 {2tan2B−4tanB−1=0tanB>0 ,解得 tanB=2+62 . 则 3CD2+6=3 ,解得 CD=2+6 . 故 AB 边上的高为 2+6 .

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