题目

设 ， . （1） 求 的单调区间； （2） 讨论 零点的个数； （3） 当 时，设 恒成立，求实数a的取值范围. 答案： 解： g′(x)=1+1x−2x=−(2x+1)(x−1)x ， 当 x∈(0,1) 时， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增，当 x∈(1,+∞) 时， g′(x)<0 ， g(x) 单调递减. 故 g(x) 的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间为 (1,+∞) . 解： x=0 是 f(x) 的一个零点，当 x≠0 时，由 f(x)=0 得， a=exx=F(x) ， F′(x)=ex(x−1)x2 ， 当 x∈(−∞,0) 时， F(x) 递减且 F(x)<0 . 当 x>0 时， F(x)>0 ，且 x∈(0,1) 时， F(x) 递减， x∈(1,+∞) 时， F(x) 递增， 故， F(x)min=F(1)=e .图象如图， 当 0≤a<e 时， f(x) 有1个零点 当 a=e 或 a<0 时， f(x) 有2个零点； 当 a>e 时， f(x) 有3个零点. 解： h(x)=f(x)−ag(x)=xex−alnx−ax−a+e ， 所以： h′(x)=(x+1)ex−a(1+x)x =(x+1)(ex−ax) ， 当 a>0 时，设 h′(x)=0 的根为 x0 ，即有 ex0=ax0 ，可得， x0=lna−lnx0 ， 当 x∈(0,x0) 时， h′(x)<0 ， h(x) 递减.当 x∈(x0,+∞) 时， h′(x)>0 ， h(x) 递增. 所以： h(x)min=h(x0)=x0ex0−alnx0−ax0−a+e=x0ax0+a(x0−lna)−ax0−a+e =e−alna≥0 ， ∴ 0<a≤e .

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