题目

已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点． 答案：解：（Ⅰ）由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得 p=12 所以抛物线C的方程为y2＝x，其焦点坐标为 F(14，0) ，准线方程为 x=−14 ； （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为 y=kx+12(k≠0) ，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 {y=kx+12y2=x ，得 4k2x2+(4k−4)x+1=0 ． 则 x1+x2=1−kk2 ， x1x2=14k2 ． 因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，y1)． 直线ON的方程为 y=y2x2x ，点B的坐标为 (x1，y2y1x2) ． 因为 y1+y2y1x2−2x1=y1y2+y2y1−2x1x2x2 =(kx1+12)x2+(kx2+12)x1−2x1x2x2=(2k−2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k−2)×14k2+1−k2k2x2=0 所以 y1+y2y1x2=2x1 ． 故A为线段BM的中点．

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