题目

已知抛物线（，）的顶点是，抛物线与轴交于点，与直线交于点 .过点作轴于点，平移抛物线使其经过点、得到抛物线（），抛物线与轴的另一个交点为 . （1）若，，，求点的坐标（2）若，求的值. （3）若四边形为矩形，，，求的值. 答案：解：抛物线 S 的表达式为： y=x2−2x+4 ，则点 M(1,3) ，点 D(1,0) ，则 a'=1 ， c'=4 ，则抛物线 S 的表达式为： y=x2+bx+4 ，将点 D 的坐标代上式并解得： b=−5 ，故抛物线 S' 的表达式为： y=x2−5x+4 ，则点 C(4,0) ；解：参考下图，过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D ，点 D 的坐标为： (−b2a,0) ，抛物线 S':y=ax2+b'x+c 将点 D 的坐标代入上式得： 0=a(−b2a)2+b'(−b2a)+c ， ∵ b2−2ac=0 整理得： bb'2a=b2+4ac4a=6ac4a=3c2 ∴ bb'3=ac=b22 即 3b=2b' ，即 3b−2b'=0 解：如上图，四边形 OABC 为矩形，则点 A(0,c) ，抛物线 S 的对称轴为 x=−b2 ，则点 B(−b,c) ，则点 C(−b,0) ，点 D(−b2,0) ， y=a'x2+b'x+c'=x2−3x+c=0 则 −b−12b=3 ， −b(−12b)=c ，解得： c=2 .

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