题目

已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）=f（x）+mx﹣6，求当m为何值时，g（x）为偶函数；（3）若g（x）=f（x）+mx﹣6在[1，2]上最小值为h（m），试讨论h（m）﹣k=0的零点个数（k为常数）． 答案：解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（0，5）可知，f（x）=2x2+bx+c=0的解为0，5根据方程的根与系数关系可得c=0，5=-b2即b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x．（2）∵g（x）=f（x）+mx﹣6=2x2+（m﹣10）x﹣6，对称轴是x=m-104．若使得g（x）为偶函数，则对称轴为x=0∴m=10（3）∵g（x）=f（x）+mx﹣6=2x2+（m﹣10）x﹣6，对称轴是x=10-m4①当10-m4<1，即m＞6时，y=g（x）在x∈[1，2]上单调增，故h（m）=g（1）=m﹣14；②当1≤10-m4≤2，即2≤m≤6时，y=g（x）在x∈[1，2]先减后增，于是hm=gm-104=-m28+52m-372③当10-m4>2，即m＜2时，y=g（x）在x∈[1，2]上单调减，故h（m）=g（2）=2m﹣18．综上所述，m-14m>6-m28+52m-3722≤m≤62m-18m<2（3）由题知，h（m）﹣k=0根的个数等价于函数y=h（m）与y=k两个图象公共点的个数，由y=h（m）的解析式，可知y=h（m）在R上单调递增，结合图象知，不论k为何值，方程h（m）﹣k=0总存在唯一的实数根．

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